Vetületek és torzulások

Szerzők: 
Dr. Szabó György, Dr. Wirth Ervin
Dátum: 
2018, Budapest

 

Ebben a fejezetben azokról a műveletekről írunk, amelyek a téradatok saját geometriájára vannak hatással. A koordináta rendszerek azonosításáért a téradat fájlstruktúrában valamilyen címke, fejléc információ, esetleg egy önálló fájl (pl. .prj) fájl felel. Egy geometriai elem koordinátái a koordináta-rendszerek közti átjárással folyamatosan változnak. Mind a raszter, mind a vektor adatok egyértelműen elhelyezhetők valamilyen koordináta-rendszerben. A vektor adatmodell esetében a pontok koordinátái kerülnek rögzítésre. Míg raszter esetén csak valamelyik sarokpontot szokás fixálni, és megadni a pixelméret növekményeket a tengelyek mentén.

Vonatkozási rendszerek

A helymeghatározáshoz szükséges egy vonatkozási (referencia) rendszer, amelyben a helyet kvantitatív módon meg tudjuk adni. Így az euklideszi illetve nemeuklideszi geometria értelmezési tartomány (tér, sík, egyenes illetve ellipszoid felület, görbevonal) pontjai bizonyos alapelemekhez viszonyítva megadhatók számokkal, azaz koordinátákkal. Tehát a vonatkozási rendszerek megkötik az értelmezési tartományt és az alapelemek számát, helyét, helyzetét.

A QGIS-ben valamennyi rétegnek saját vonatkozási rendszere (CRS: Coordinate Reference System) van. Továbbá választhatunk egy projekt vonatkozási rendszert, mely a térinformatikai projektünkhöz fűződik. Ebben a heterogén vonatkoztatású téradatokat együtt tudjuk szemlélni, ugyanis a szoftver röptében (OTF: on the fly), azaz valós időben transzformálja őket a közös projekt vonatkozási rendszerbe (Project CRS). A QGIS a definiált vonatkozási rendszereket – közel 2700 – két csoportba osztja:

  • Ellipszoidi rendszerek8 (Ellipsoidal Coordinate System - QGIS-ben Geographic Coordinate System):
    Ekkor a koordináták fokban (szögben) értendők: az első koordináta a földrajzi hosszúságot, a második az Egyenítőtől értendő szélességet jelenti. A szoftver az ellipszoidi (szferoidi, gömbi) koordinátákat Descartes-féle koordináta rendszerben jeleníti meg, amely a képernyőn egy hengervetület benyomását kelti. Mivel a koordináták az alapfelületre (szferoid vagy gömb) vonatkoznak, ezért a köztük lévő távolságok, vagy az általuk lefedett területek számításához nemeuklideszi (elliptikus, szférikus) geometria szükséges. A legpontosabb terminológia alapján a földalakot lencseszferoiddal közelítjük.
  • Vetületi rendszerek (Projected Coordinate System):
    Ekkor a koordináták hosszegységben (pl. méter) értendők. A koordináták a képfelületre (vetület) vonatkoznak, amely általában egy vágóvonal segítségével síkba fejthető geometriai elem (pl.: kúp, henger). Ekkor a pontok közti távolságok egyszerűen, Pithagorasz-tétellel számíthatók. A QGIS-ben számos vetületcsoport található pl.: Azimuthal Equidistant, Equal Area Cylindrical, Lambert Azimuthal Equal Area, Lambert Conformal Conic, Mollweide, Oblique Mercator, Swiss. Obl. Mercator, Stereographic.

A QGIS első indításakor az alapértelmezet projekt koordináta rendszer a WGS84 (World Geodetic System 1984), amely az amerikai GPS holdak vonatkozási rendszere. Ez egy ellipszoidi rendszer, tehát az első csoportba tartozik. A QGIS-ben használt vonatkozási rendszerek egyértelmű azonosítására az EPSG (European Petroleum Survey Group) kód hivatott, a WGS84 kódja az EPSG:4326. A legtöbb interneten fellelhető téradat ebben a vonatkozási rendszerben van.

Vetületek

Adjuk hozzá a Világtérkép réteget a projektünkhöz.

Ezt követően, a vetületek által okozott torzulások elemzéséhez töltsük be az Indicatrix Mapper modult:

Modulok / Modul kezelés és telepítés / Továbbiak / Indicatrix Mapper – Modul telepítés

Adjunk hozzá konstans méretű gömbsüvegeket a térképhez a plugin ikonjával, vagy:

Vektor / Indicatrix Mapper / Indicatrix Mapper

Hagyjuk változatlanul a paramétereket (kiterjedés, felbontás, sugár, gömbi sugár), majd kattintsunk a Run! parancsra.

Ezt követően bezárhatjuk a panelt.Mentsük el a gömbsüvegeket, fokhálózatot és világtérképet .kml (Keyhole Markup Language) formátumba:

Mentés másként

Formátum: Keyhole Markup Language [KML]

Húzzuk be őket a Google Earthbe, így megtekinthetjük őket az alapfelületen:


1. ábra: Világtérkép az alapfelületen 12 fokos nyílásszögű gömbsüvegekkel.

A QGIS-ben a következő színbeállításokat alkalmazzuk:


2. ábra: Háttérszín - kék; gömbsüvegek - narancssárga és átlátszó (20%); fokhálózat - fekete; világtérkép - zöld.

A 2. ábrán látható, hogy míg az egyenlítőn körök képződtek, a sarkokhoz közeledve a süvegek ellipszisszerű alakzatokká torzultak. Ez a szelességi és hosszúsági körök eltérő karakterisztikájából adódik. Míg a parallelkörök sugarai zsugorodnak a sarkok felé – így görbületüket növelve -, a mediánok (délkörök) sugarai nem változnak.

A rétegek színeit a tulajdonságaiknál a Stílus fülön tudjuk átállítani, használjunk Egy szimbólum-ot. A rétegek Átlátszóságát is itt tudjuk beállítani. A háttérszín beállítását
viszont a projekt tulajdonságoknál tudjuk megtenni:

Projekt / Projekt Tulajdonságok / Általános / Háttér szín

A projekt koordináta rendszerét (CRS: Coordinate Reference System) a jobb alsó sarokban lévő ikonra (lásd fontos ikonok) kattintva vagy a projekt tulajdonságoknál tudjuk átállítani:

Projekt / Projekt Tulajdonságok / Vetület / Röptében transzformálás engedélyezése

Állítsunk be Mercator, normális helyzetű hengervetületet. Keressünk erre: Sphere_Mercator


3. ábra: Világ és gömbsüvegek a hengervetületen.

A világtérkép esetlegesen téglalapokká eshet szét, ennek oka, hogy a szoftver egyszerűsíti a réteg geometriáját. Kapcsoljuk ezt ki a rétegnél:

Tulajdonságok / Megjelenítés / Geometria egyszerűsítés

A 3. ábrán látható, hogy a kör alapú alapfelületi gömbsüvegek a vetületen is körök képében képződtek le. Ezt azt jelenti, hogy a vetület szögtartó. A Mercator vetület esetében a vetítés az alapfelület középpontjából (centrális) történik az érintő és álló (normális) helyzetű hengerre. Ezért tapasztalhatók a szingularitások a pólusoknál, melyek a végtelenbe vetítődnek.

Váltsuk át a vetületet sztereografikusra: Sphere_Stereographic


4. ábra: A vetítés a középpont ellenpontjából (átellenes pont) történt, tehát a szingularitás a Csendes-óceánon jelentkezik.

A 4. ábra esetében a vetület egy sík, melyet az Egyenlítő és Greenwichi délkör metszéspontjára úgy illesztettünk, hogy normálisa áthaladjon az alapfelület középpontján.


5. ábra: Perspektív vetítések: Gnomonikus, Sztereografikus, Ortografikus

Végül állítsuk a projekt vonatkozási rendszerét a következőre: South_Pole_Lambert_Azimuthal_Equal_Area


6. ábra: Világ részlet Lambert Azimutális Területtartó vetületen.

Ez a vetület az eddigiekkel ellentétben nem perspektív, mint ezt a 7 ábra is mutatja:


7. ábra: A vetítési olyan körívekkel történik, melyek középpontja az érintési pont (S).

Tehát a vetítés nem mindig perspektivikus, a gömbsüvegek körök helyett ellipszisekké is fajulhatnak (lásd 6. ábra).

A vetületeket számos tulajdonság alapján csoportosíthatjuk (nem véletlen a vetületek nagy száma):

  • képfelület alapján (sík, kúp, henger)
  • alap- és képfelület tengelyei alapján (normális, transzverzális, ferdetengelyű)
  • alap és képfelület illeszkedése alapján (érintő, metsző, lebegő)
  • előállítás elve szerint (perspektív - geometriai, nem perspektív - matematikai)5
  • torzulás alapján (szögtartó, területtartó, afilaktikus1,2,3)

A segédletben az afilaktikus elnevezés került bevezetésre, a korábbi 'általános torzulású' helyett. Az 'általános' fogalom megengedő jellege miatt (pl. általános négyszög) hagyatkoztunk a külföldi szakirodalombeli elnevezés átvételére. Az afilaktikus olyan vetület, amely se nem szögtartó, se nem területtartó jellegű.

A legutóbb beállított projekt vetület nevében szerepel az „Equal Area” kifejezés, mely a területtartásra utal, bizonyosodjunk meg erről a QGIS-be beépített területszámító eljárással:

Vektor / Geometria Eszközök / Export/geometria oszlop hozzáadás

Bemeneti rétegnek állítsuk a gömbsüvegeket (spherical_caps), számításhoz pedig a projekt koordináta rendszert (Project CRS), majd tekintsük meg a gömbsüvegek attribútum tábláját:


8. ábra: Mint látható az ellipszisek kerületei változtak, ellenben a területek közel állandó maradt.

Megjegyezzük nincs olyan vetület amely szögtartó és területtartó is egyben4, célszerű igényeinknek és ábrázolandó területünknek megfelelően kompromisszumban választani. Számos országhoz számos vetület létezik, a vetületek kiválasztásában segítségünkre lehet a következő honlap, mely felsorolja a keresett országban elérhető vetületeket:

www.epsg.io

Magyarország területét számos vonatkozási rendszerben kiszámíthatjuk. A számítás geometriai alapjaként az Adminisztratív határok (files/adm_hun.zip) adm_magyarorszag rétegét használjuk fel. A geometriai oszlop hozzáadásakor a területet kétféle módon számíthatjuk:

  1. A réteg vagy a projekt vonatkozási rendszeréből (CRS): ekkor a program a koordinátákat euklideszi koordinátákként értelmezi, és abból számol. Vetületi vonatkozási rendszerben lévő rétegek esetén válasszuk ezt az opciót.
  2. A réteg CRS-hez tartozó ellipszoidon: ekkor a szoftver a koordinátákat nemeuklideszi (szférikus vagy ellipszoidi) koordinátaként értelmezi, és ebből számol. Ellipszoidi vonatkozási rendszerben lévő rétegek esetében válasszuk ezt a számítási módszert.

1. táblázat: Magyarország területének QGIS-beli számítása különféle eljárásokkal, különböző vonatkozási rendszerekben.
WGS84: World Geodetic System 84; HD72: Hungarian Datum 72; EOV: Egységes Országos Vetület; ETRS: European
Terrestial Reference System; LAEA: Lambert Azimuthal Equal Area; CRS: Vonatkozási rendszer.

Egyéni vetület

Készítsünk el egy ekvidisztáns (egy pontból – a középpontból - távolsághelyes) vetületet Budapestre (Azimuthal Equidistant Projection), az elkészítéséhez szükséges egy új vonatkozási rendszer létrehozása a szoftverben:

Beállítások / Egyéni Vetület

Új CRS

Név: Budapest_Azimuthal_Equidistant
Paraméterek: +proj=aeqd +R=6371000 +lat_0=47.498333 +lon_0=19.040833

Ezt követően tartsuk meg a világtérkép és a fokhálózat (graticule) rétegeket, és távolítsuk el a gömbsüvegeket (spherical_caps). Adjunk hozzá a projektünkhöz további két réteget: Világvárosok, Budapesti körök


9. ábra: Budapesti azimutálisan ekvidisztáns vetület (Azimuthal Equidistant Projection centered on Budapest).

A 9. ábrán a középponttól körzővel levett távolságok a valóságnak megfelelnek. Így van ez az ENSZ logójában is, csak ott a középpont az északi sark:


10. ábra: Az Egyesült Nemzetek Szervezetének zászlaja.

Az egyéni vetületi rendszerek definiálásánál használt +proj parancsok:6,7
gnom, stere, ortho, laea, aeqd


11. ábra: Budapesthez érintett síkvetületek 2500 km felbontású koncentrikus körökkel
felül: Gnonomikus, Sztereografikus, Ortografikus
alul: Lambert Területtartó, Távolságtartó

Hivatkozások

1: http://www.kartografija.hr/proj-wiki/index.php/Aphylactic_projections
2: http://mathworld.wolfram.com/AphylacticProjection.html
3: http://dictionary.reference.com/browse/phylactic
4: http://mathworld.wolfram.com/Equal-AreaProjection.html
5: Dr. Irmédi-Molnár László (1970): Térképalkotás, Tankönyvkiadó, Budapest
6: https://trac.osgeo.org/proj/wiki/GenParms
7: Gerald I. Evenden (1990): Cartographic Projection Procedures for the UNIX Environment—A User’s Manual,
(Revised 2003), United States Department of the Interior Geological Survey
8: Wolfgang Kresse, Kian Fadaie (2004): ISO Standards for Geographic Information, Springer